《周髀算經(jīng)》原名《周髀》，算經(jīng)的十書(shū)之一，是中國最古老的天文學(xué)和數學(xué)著(zhù)作，約成書(shū)于公元前1世紀，主要闡明當時(shí)的蓋天說(shuō)和四分歷法。唐初規定它為國子監明算科的教材之一，故改名《周髀算經(jīng)》。

《周髀算經(jīng)》在數學(xué)上的主要成就是介紹并證明了勾股定理。

《周髀算經(jīng)》采用最簡(jiǎn)便可行的方法確定天文歷法，揭示日月星辰的運行規律，囊括四季更替，氣候變化，包含南北有極，晝夜相推的道理。給后來(lái)者生活作息提供有力的保障，自此以后歷代數學(xué)家無(wú)不以《周髀算經(jīng)》為參考，在此基礎上不斷創(chuàng )新和發(fā)展。

勾股定理

首先，《周髀算經(jīng)》中明確記載了勾股定理的公式：若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開(kāi)方除之，得邪至日。（《周髀算經(jīng)》上卷二）

而勾股定理的證明呢，就在《周髀算經(jīng)》上卷一——

昔者周公問(wèn)于商高曰：竊聞乎大夫善數也，請問(wèn)昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請問(wèn)數安從出？

商高曰：數之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤(pán)，得成三四五。兩矩共長(cháng)二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數之所生也。

周公對古代伏羲（庖犧）構造周天歷度的事跡感到不可思議（天不可階而升，地不可得尺寸而度），就請教商高數學(xué)知識從何而來(lái)。于是商高以勾股定理的證明為例，解釋數學(xué)知識的由來(lái)。數之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。解釋發(fā)展脈絡(luò )——數之法出于圓（圓周率三）方（四方），圓出于方（圓形面積=外接正方形面積*圓周率/4），方出于矩（正方形源自?xún)蛇呄嗟鹊木兀?，矩出于九九八十一（長(cháng)乘寬面積計算依自九九乘法表）。

故折矩①，以為勾廣三，股修四，徑隅五。開(kāi)始做圖——選擇一個(gè)勾三（圓周率三）、股四（四方）的矩，矩的兩條邊終點(diǎn)的連線(xiàn)應為5（徑隅五）。

②既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤(pán)，得成三四五。這就是關(guān)鍵的證明過(guò)程——以矩的兩條邊畫(huà)正方形（勾方、股方），根據矩的弦外面再畫(huà)一個(gè)矩（曲尺，實(shí)際上用作直角三角形），將外半其一矩得到的三角形剪下環(huán)繞復制形成一個(gè)大正方形，可看到其中有邊長(cháng)三勾方、邊長(cháng)四股方、邊長(cháng)五弦方三個(gè)正方形。

兩矩共長(cháng)③二十有五，是謂積矩。此為驗算——勾方、股方的面積之和，與弦方的面積二十五相等——從圖形上來(lái)看，大正方形減去四個(gè)三角形面積后為弦方，再是大正方形減去右上、左下兩個(gè)長(cháng)方形面積后為勾方股方之和。因三角形為長(cháng)方形面積的一半，可推出四個(gè)三角形面積等于右上、左下兩個(gè)長(cháng)方形面積，所以 勾方 股方=弦方。

注意：①矩，又稱(chēng)曲尺，L型的木匠工具，由長(cháng)短兩根木條組成的直角。古代矩指L型曲尺，矩形才是矩衍生的長(cháng)方形。

②既方之，外半其一矩此句有爭議。清代四庫全書(shū)版定為既方其外半之一矩，而之前版本多為既方之外半其一矩。經(jīng)陳良佐、李國偉、李繼閔、曲安京等學(xué)者研究，既方之，外半其一矩更符合邏輯。

③長(cháng)指的是面積。古代對不同維度的量綱比較，并沒(méi)有發(fā)明新的術(shù)語(yǔ)，而統稱(chēng)長(cháng)。趙爽注稱(chēng)：兩矩者，勾股各自乘之實(shí)。共長(cháng)者，并實(shí)之數。

由于年代久遠，周公弦圖失傳，傳世版本只印了趙爽弦圖（造紙術(shù)在漢代才發(fā)明）。所以某些學(xué)者誤以為商高沒(méi)有證明（只是說(shuō)了一段莫名其妙的話(huà)），后來(lái)趙爽才給出證明。其實(shí)不然，摘錄趙爽注釋《周髀算經(jīng)》時(shí)所做的《勾股圓方圖》——句股各自乘，并之為弦實(shí)，開(kāi)方除之即弦。案：弦圖又可以句股相乘為朱實(shí)二，倍之為朱實(shí)四，以句股之差自相乘為中黃實(shí)，加差實(shí)亦成弦實(shí)。