1824年，一位年輕的挪威數學(xué)家尼爾斯·亨里克·阿貝爾取得了一個(gè)與某類(lèi)方程相關(guān)的令人震驚的結果。不久之后，法國天才數學(xué)家埃瓦里斯特·伽羅瓦以深入的眼光證明了這一結果為什么是正確的——并在這個(gè)過(guò)程中開(kāi)創(chuàng )了用數學(xué)研究對稱(chēng)性的先河?？上扇硕加⒛暝缡?，沒(méi)有來(lái)得及享受他們的工作帶來(lái)的好處。阿貝爾于1829年死于肺結核和貧困，時(shí)年26歲。伽羅瓦死于1832年，他在一場(chǎng)據稱(chēng)是為了爭奪一個(gè)女人而進(jìn)行的決斗中被殺死。當時(shí)他只有二十歲。
尼爾斯·亨里克·阿貝爾
那么他們做出了什么樣的工作？方程和對稱(chēng)性又有什么關(guān)系？
解方程
最著(zhù)名的公式之一是二次方程的通解公式，如果方程寫(xiě)為：
那么通解公式就可以告訴我們方程的解為：
以及
無(wú)論a，b，c的值是多少，這個(gè)公式都可以告訴你解是多少。它們使用起來(lái)很方便。
這有一個(gè)類(lèi)似的但復雜得多的公式可以告訴你三次方程的通解，方程的形式為：
還有一些更復雜的方程可以告訴你四次方程的通解，這些方程可以寫(xiě)為：
雖然關(guān)于二次，三次，四次方程的通解公式看起來(lái)有些復雜，但是它們只包含了有限個(gè)運算操作：加、減、乘、除、開(kāi)平方、開(kāi)三次方、開(kāi)四次方。
很顯然，你接下來(lái)會(huì )問(wèn)，我們可以為五次方程找到一個(gè)類(lèi)似的通解公式嗎？
更一般的，包含x高階項的多項式方程的通解公式長(cháng)什么樣子？
伽羅瓦畫(huà)像 在他死后16年的1848年，由他的兄弟根據記憶所作
我們想要的是一個(gè)公式，這個(gè)公式只包含加減乘除和求根操作。如果一個(gè)方程具有這樣一個(gè)通解公式，那么我們說(shuō)這個(gè)方程是有根式解的。
1824年阿貝爾證明的結論是：對于一般的五次方程，不存在根式解。當然，這并不意味所有的五次方程都是沒(méi)有根式解的。例如，多項式方程：
擁有一個(gè)解：。
但是對于一般的五次方程，確實(shí)不存在一個(gè)普適的根式解公式。
阿貝爾證明了這一結果，但幾年后，伽羅瓦才真正意識到為什么五次方程不存在根式解。伽羅瓦常被認為群論的奠基人，群論是一門(mén)研究對稱(chēng)性的數學(xué)。 我們通常認為對稱(chēng)性是一種視覺(jué)現象：一幅畫(huà)或圖案可能是對稱(chēng)的。但是對稱(chēng)性和方程有什么關(guān)系呢？答案有些微妙，但非常美麗。
不變的對稱(chēng)性
首先，讓我們思考對稱(chēng)性真正的含義。我們說(shuō)一個(gè)正方形是對稱(chēng)的是因為我們將它繞著(zhù)中心軸旋轉90度，或者將它對于各種軸做反射操作并不會(huì )改變它的外觀(guān)。所以對稱(chēng)性意味著(zhù)沒(méi)有變化：如果我們對某個(gè)物體進(jìn)行某種操作之后并沒(méi)有改變它，那么它就具有對稱(chēng)性。
當我們思考二次方程式，我們可以發(fā)現少許對稱(chēng)性。例如，二次方程
擁有兩個(gè)解
方程具有兩個(gè)離散的解，但是某種意義上，它們非常相似：只需在一個(gè)解上加上一個(gè)負號就可以得到另一個(gè)解。也許交換兩個(gè)解并不會(huì )帶來(lái)什么不同，就像對正方形做鏡像操作一樣意味著(zhù)一種對稱(chēng)性一樣，交換方程的兩個(gè)解也許也意味著(zhù)某種對稱(chēng)性。但究竟是哪種對稱(chēng)性呢？
加入無(wú)理數
蝴蝶有對稱(chēng)性，方程也有對稱(chēng)性！
為了理解這些結果，讓我們考察一下方程所包含的數字：
方程的系數是1和-2：兩個(gè)系數都是有理數。但是它的解卻是兩個(gè)無(wú)理數：你無(wú)法將
和寫(xiě)成兩個(gè)整數相除的形式。多數二次方程的解都是無(wú)理數，因此只考慮方程的系數是不夠的。
讓我們把視野放寬一點(diǎn)。我們不光考察一組有理數（寫(xiě)作），我們還要考察一組新的數，這組數寫(xiě)作。這組數包含所有可以寫(xiě)作的數，其中a和b是有理數。很顯然，新的一組數包含所有的有理數（b=0），同時(shí)也包含前面二次方程的兩個(gè)解和。
新的一組數是自包含的（ self-contained）：你可以將其中的兩個(gè)數相加、相減、乘或者相除，得到的結果仍然在這組數里。在數學(xué)中，被稱(chēng)為一個(gè)域（field）。在代數操作下的自包含性是域的基本特性。事實(shí)上，是包含所有有理數以及和的最小的域。
交換兩個(gè)解
現在我們回到將兩個(gè)解和。進(jìn)行交換的想法。在中將所有的和進(jìn)行交換，我們可以用函數f來(lái)表示這種交換操作：
將f作用在中的所有數上并不會(huì )改變也不會(huì )改變它的結構。并且，它并不會(huì )改變這個(gè)域中的所有有理數。
很顯然，f并不改變域中的有理數，對于無(wú)理數，經(jīng)f作用后仍然處于中。（因為是中的一個(gè)數，也是中的一個(gè)數）。
更進(jìn)一步，將f作用在上保持加減乘除的結構。假設你對中的兩個(gè)數和進(jìn)行加、減、乘、除操作得到新的數，然后將和進(jìn)行加、減、乘、除可以得到在某種意義上，函數f是方程的一個(gè)對稱(chēng)變換。它不會(huì )改變。函數f被稱(chēng)為域的-自同構：它是從到自身的雙射函數，它不改變中的數并且保持在代數操作下的結構。
伽羅瓦群
還有其它的-自同構變換嗎？答案是肯定的，其實(shí)還有一個(gè)-自同構變換，盡管這個(gè)自同構變換很平庸。它使中的每個(gè)數保持不變。用函數表示就是：。的-自同構集合（也就是方程的對稱(chēng)性的集合）只包含g和f兩個(gè)元素。
一個(gè)事物，無(wú)論它是一個(gè)圖形還是一個(gè)方程，它的對稱(chēng)性的集合構成一個(gè)群。這個(gè)系統是自包含的原因是兩個(gè)對稱(chēng)變換的組合仍然構成一個(gè)對稱(chēng)變換。在我們的例子中，將對稱(chēng)變換f連續兩次作用在一個(gè)數上不會(huì )改變這個(gè)數：
類(lèi)似的，先作用f后作用g，或者先作用g后作用f的組合構成了f，而g和g的組合仍然是g。我們的方程的對稱(chēng)性構成的群包含兩個(gè)-自同構g和f，它被稱(chēng)為方程的伽羅瓦群。
為什么你解不出一般的五次方程？
我們可以對其他任意多項式做類(lèi)似的事情，例如對一個(gè)五次方程：
A，b，c，d，e和f是有理數。同樣的，我們可以將有理數域擴展成包含和方程的解的最小的域。它被稱(chēng)為的分裂域（splitting field）
就像我們對二次方程做的那樣，你可以觀(guān)察一下這個(gè)分裂域的對稱(chēng)性。它的-自同構包含不改變域內數字的自同構變換和不改變域的結構的自同構變換，它們構成的伽羅瓦群。
紀念伽羅瓦的法國郵票
伽羅瓦所能證明的是，一個(gè)方程是否有根式解，取決于它的伽羅瓦群的結構。有時(shí)候伽羅瓦群可以被分成更小的分量，它們和取n次方根有關(guān)。如果是這種情況，那么方程擁有根式解。
然而，如果它無(wú)法以恰當的方式分被解成更小的分量，如果你不能把對稱(chēng)性分離出來(lái)，那么你就找不到一個(gè)只涉及加、減、乘、除和求根的通解，在這種情況下，方程不存在根式解。
我們可以證明，五次方程并不能以恰當的方式分解。因此，五次方程不存在根式通解。對于包含x的更高次冪的多項式方程也是一樣的：它們沒(méi)有根式通解。用群論研究方程的解被稱(chēng)為伽羅瓦理論，這一理論以其發(fā)明者的名字命名。
作者：Marianne Freiberger
翻譯：Nothing
審校：C