頭條創(chuàng )作挑戰賽
極限的定義，大家聽(tīng)得多了，那么你知道上極限和下極限的定義嗎？上極限和下極限的定義是從有界數列的最大聚點(diǎn)和最小聚點(diǎn)的定義派生出來(lái)的。上一篇作品，老黃介紹了有界數列的聚點(diǎn)定理，其中就涉及到最大聚點(diǎn)和最小聚點(diǎn)的定義，這篇作品，老黃要給大家介紹上極限和下極限的定義，及其相關(guān)的兩個(gè)重要定理。
其實(shí)，有界數列的最大聚點(diǎn)就是它的上極限，而最小聚點(diǎn)就是它的下極限，它們的表達形式是分別在原來(lái)的極限符號上面，或者下面加一條橫線(xiàn)。這樣既直觀(guān)易記，也容易理解。下面老黃給大家舉幾個(gè)例子：
比如通項為(-1)的n次方乘以n/(n+1)的點(diǎn)列，它的上極限等于1，下極限等于-1. 含有(-1)^n的點(diǎn)列，經(jīng)常擁有不同的上極限和下極限，但也有上極限和下極限相等的情況。在這種極限和下極限不同的例子中，常見(jiàn)的還有含三角函數的點(diǎn)列，比如點(diǎn)列{sin(nπ/4)}，它的上極限是1，下極限是-1。當然，含三角函數的點(diǎn)列也有可能是上、下極限相等的。反正點(diǎn)列的上、下極限，要么相等，要么不等。最常見(jiàn)的點(diǎn)列是{1/n}，它的上、下極限就都等于0.
不難發(fā)現，對任何有界無(wú)限數列，它的下極限永遠不大于上極限。這也是關(guān)于上下極限的一個(gè)定理。從定義就可以推導出來(lái)，因為最大聚點(diǎn)肯定不小于最小聚點(diǎn)，所以上極限肯定不小于下極限，這完全可以當做一個(gè)公理哦。因為公理才不需要證明，定理都是需要證明的，而想要運用嚴謹的數學(xué)語(yǔ)言證明上極限不小于下極限，恐怕是一件很麻煩的事情。和證明1+1=2有得一拼，這里指的不是哥德巴赫猜想。
接下來(lái)再來(lái)做幾道求點(diǎn)列的上，下極限的練習，鞏固一下新知。
練習：求以下數列{xn}的上、下極限：
(1){1+(-1)^n}； (2){(-1)^n*n/(2n+1)}； (3){2n+1}；(4){(n^2+1)*sin(π/n)/n}.
分析：(1)點(diǎn)列的通項分成兩部分，是兩個(gè)加數，前面的加數恒等于1，后面的加數奇數項等于-1，構成的子列趨于0，偶數項等于1，構成的子列趨于2，因此這個(gè)點(diǎn)列的下極限等于0，上極限等于2.
(2)點(diǎn)列同樣是由(-1)^n引發(fā)的上下極限不相等。這個(gè)點(diǎn)列也要分成兩部分來(lái)分析，這回是前面的因式?jīng)Q定了極限的符號性質(zhì)，奇數項的符號性質(zhì)是-1，偶數項的符號性質(zhì)是正1，后面的因式極限等于1/2，因此，奇數項構成的子列趨于-1/2，是下極限；偶數項構成的子列趨于1/2，是上極限.
(3)極限是正無(wú)窮大的發(fā)散數列，其實(shí)，上下極限不相等的數列，都是發(fā)散數列，這兩類(lèi)發(fā)散數列本質(zhì)上是不同的。當然，你也可以認為這個(gè)數列是收斂于正無(wú)窮大的。因此，它的上下極限也都是正無(wú)窮大。
(4)最后一個(gè)點(diǎn)列稍有點(diǎn)復雜，不過(guò)它的極限卻是存在的。只要在分子分母同乘以π/n，分母的π/ni就會(huì )和sin(π/n)構成第一個(gè)重要極限，等于1。而前面的分式極限，在n趨于無(wú)窮大時(shí)，極限是分子分母相同的最高次項，即二次項的系數的比。把π前提后，這個(gè)系數比也等于1，因此原點(diǎn)列的極限等于π. 所以上、下極限都等于π。
在這道練習中，運用了一個(gè)非常重要的定理，是點(diǎn)列收斂于常數A的充要條件，這個(gè)充要條件是點(diǎn)列的上下極限相等，且都等于A(yíng)。只要上下極限相等，等于A(yíng)那是必然的。這個(gè)定理同樣證明起來(lái)比較麻煩，你能證明嗎？
先證充分性。因為上下極限相等，因此最大聚點(diǎn)和最小聚點(diǎn)相等。說(shuō)明點(diǎn)列有唯一聚點(diǎn)，由聚點(diǎn)的定義可知，唯一聚點(diǎn)就是點(diǎn)列的極限。因為在這個(gè)聚點(diǎn)的任意鄰域上有點(diǎn)列的幾乎所有個(gè)點(diǎn)，這就是極限的鄰域充要條件嘛。充分性得證。
再證必要性，如果點(diǎn)列的極限存在，那么在這個(gè)極限的任意鄰域上，有點(diǎn)列幾乎所有個(gè)點(diǎn)，說(shuō)明在其它點(diǎn)的鄰域上，只能有點(diǎn)列的有限多個(gè)點(diǎn)。這就證明點(diǎn)列只有一個(gè)聚點(diǎn)，那么這個(gè)聚點(diǎn)就既是最大聚點(diǎn)，又是最小聚點(diǎn)。因此上下極限相等。必要性又得證。
你能用數學(xué)語(yǔ)言把這段證明描述出來(lái)嗎？