最值定理

概念：

若f(x)∈C[a,b]，則f(x)在[a,b]上一定存在最小值和最大值。

所謂最值定理，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是函數在某閉區間上連續，那么它一定在這個(gè)區間上有最大最小值。

為什么呢？

首先我們知道函數在此閉區間為連續函數，而對連續函數來(lái)說(shuō)，函數在該區間內不會(huì )有間斷點(diǎn)。根據函數的定義我們知道，每一個(gè)x都有唯一與之對應的f(x)值存在。

用通俗的話(huà)來(lái)說(shuō)其實(shí)這就是我們要畫(huà)一條連接兩個(gè)端點(diǎn)的一條線(xiàn)，同時(shí)要保證能一筆畫(huà)完。

所以我們不管怎么畫(huà)，不管我們把中間的線(xiàn)畫(huà)得多高，多低，為了能使函數連續，我們都把線(xiàn)慢慢畫(huà)低，畫(huà)高。

而我們畫(huà)線(xiàn)的想法只是決定了這個(gè)最大值最小值點(diǎn)的位置和大小，對這個(gè)值存在是完全沒(méi)有影響的。

f(x)＝sinx的函數圖像

f(x)＝lnx的函數圖像

比如說(shuō)函數f(x)=sin(x)，已知函數sinx是連續函數，如果x∈(0,π)，那么f(x)很顯然有最大最小值，而且不管我們取何種區間，我們都可以發(fā)現其始終存在著(zhù)最大值最小值。

同樣我們也可以把這個(gè)最值往上、往下、往左、往右拉，只要我們愿意，我們也可以把它拉出銀河系，但這個(gè)值它肯定還是存在的。

所以說(shuō)不管是什么函數，只要它在閉區間連續，那就必定有最大最小值。

介值定理

概念：

若f(x)∈C[a,b]，對任意的η∈[m,M]，存在ξ∈[a,b]，使得f(ξ)＝η。

這個(gè)定理其實(shí)是最好理解的，就是最基本的函數定義。把這句話(huà)換一種方式說(shuō)出來(lái)就能很好理解其含義了。

首先f(wàn)(x)是連續函數，我們可以知道函數f(x)在其定義域內，任意取一個(gè)x都有一個(gè)唯一與之對應的f(x)存在， f (x)所組成的集合我們就叫做值域。用我們高中數學(xué)的話(huà)來(lái)說(shuō)，其實(shí)就是函數的映射。

函數的映射

我們可以把A集合看成定義域，B集合看成值域，對于函數f(x)來(lái)說(shuō)可以是一對一或者多對一。而介值定理定義中的η∈[m,M]的意思也就是說(shuō)在B集合，也就是值域中任取一個(gè)數，根據這個(gè)映射的原理，我們可以知道，都可以在A(yíng)集合中找到對應的數，可能是一個(gè)，也可能是幾個(gè)，很多個(gè)，而ξ∈[a,b]也就是說(shuō)能在A(yíng)集合中找到對應數。而我們此處的函數關(guān)系也就是兩個(gè)集合間的映射條件。

以上解釋僅為個(gè)人理解，如有錯誤請指出。