頭號有新人

現實(shí)生活中有很多立體圖形，而這些立體圖形圍繞在我們人的日常生活里，但是這些圖形中的奧秘就非常有探索精神。在很小的時(shí)候，我就知道，兩個(gè)底圓面積相等同高的圓錐和圓柱，它們的體積之比是可以取整的。就是說(shuō)，三個(gè)圓錐的容積（體積）是一個(gè)圓柱的容積（體積）。

而我要從不同角度讓大家認識曲線(xiàn)。為什么？我會(huì )要從多種方式認識曲線(xiàn)，而不是先給大家解釋直線(xiàn)。因為幾何，對于曲線(xiàn)的認識只停留在微分里，缺少一些不同的認識。

數學(xué)里面對曲線(xiàn)的認識，可以分為多種理解。有些數學(xué)家用截圖的方式確定曲線(xiàn)，有些數學(xué)家用向量的方式確定曲線(xiàn)，有些數學(xué)家用連續的方式確定曲線(xiàn)，有些數學(xué)家用代數的方式確定曲線(xiàn)，有些數學(xué)家用虧的反的確定曲線(xiàn)，有些數學(xué)家用一些定理確定曲線(xiàn)，……。而曲線(xiàn)到底是一些什么樣的關(guān)系，為啥會(huì )引起這么多人都想，插上一些內容。我想，此時(shí)此刻你也會(huì )思考吧！

先來(lái)看看，最基本的曲線(xiàn)，拋物線(xiàn)、橢圓、圓、直線(xiàn)。拋物線(xiàn)跟直線(xiàn)的關(guān)系，從不同方式都能對應。但是此時(shí)的對應，是完整封閉的對應。也就是說(shuō)，那些我們認為的區別，當成沒(méi)有的。也就說(shuō)從點(diǎn)看線(xiàn)，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)跟直線(xiàn)上的點(diǎn)，是有序的。此時(shí)所有的拋物線(xiàn)就是直線(xiàn)。而直線(xiàn)只有在滿(mǎn)足這層關(guān)系之時(shí)，它可以滿(mǎn)足所有的曲線(xiàn)。只有知道這些，你才明白，為什么線(xiàn)性關(guān)系，才是大自然秘密。要是這點(diǎn)都不知道，就認識曲面，你是很難理解，為啥有那么多數學(xué)家，要區分這里面究竟有多少不同。

其實(shí)如何測量圓的周長(cháng)，最簡(jiǎn)單的方式，就是找一條繩子繞圓一圈，然后用三角尺測出它的長(cháng)度。然后在用圓的周長(cháng)公式代一下，就知道這里面究竟藏著(zhù)些什么。其實(shí)這樣理解曲線(xiàn)的長(cháng)度，也是一種方式。

圓是有兩條特殊拋物線(xiàn)組成的圖形。圓是最基礎的曲線(xiàn)。所有的曲線(xiàn)，都能以圓的形式展開(kāi)。圓的面積又是半徑刻畫(huà)的。圓的周長(cháng)又是直徑刻畫(huà)的。所以曲線(xiàn)從某種意義上是直線(xiàn)的彎曲。但是彎曲的直線(xiàn)，它的性質(zhì)應該在彎曲的時(shí)候是成立的。也就是說(shuō)，曲線(xiàn)上同樣有歐幾里得空間存在。只是這種存在，需要一種比較可理解的方式，體會(huì )出來(lái)。而我們現在的微分，理解曲線(xiàn)，就是在體會(huì )這種流形。

曲線(xiàn)的曲率，其本質(zhì)，直線(xiàn)上點(diǎn)的分布形式。也可以理解為，直線(xiàn)上點(diǎn)稀疏程度。更可以理解為，直線(xiàn)跟點(diǎn)的比例空間。只要給直線(xiàn)加一角度，所有的曲線(xiàn)都是可以像數一樣，解釋。曲線(xiàn)跟直線(xiàn)的角度，是可以解釋很多曲線(xiàn)問(wèn)題的。

其實(shí)曲線(xiàn)也有種方式理解。不考慮給曲線(xiàn)加角度，給曲線(xiàn)加方向，也是可以定義所有的曲線(xiàn)。還可以把所有的曲線(xiàn)表達出來(lái)，畫(huà)出來(lái)，拿軌跡反樣。對處理曲線(xiàn)的問(wèn)題，方法真的非常多。但是曲線(xiàn)所要告訴我們人的東西，我們都應該體會(huì )。

作者:owiijt