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利用正方形的性質(zhì)求動(dòng)點(diǎn)的運動(dòng)軌跡是初二數學(xué)的重要題型，本文就例題詳細解析這類(lèi)題型的解題方法，希望能給初二學(xué)生的數學(xué)學(xué)習帶來(lái)幫助。

例題

如圖，在平面直角坐標系中，邊長(cháng)為a（a為大于0的常數）的正方形ABCD的對角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)A在x軸正半軸上運動(dòng)，頂點(diǎn)B在y軸正半軸上運動(dòng)（x軸的正半軸，y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)O），頂點(diǎn)C，D在第一象限

（1）當∠BAO=45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標；

（2）求證：無(wú)論點(diǎn)A在x軸正半軸上、點(diǎn)B在y軸正半軸上怎樣運動(dòng)，點(diǎn)P都在∠AOB的平分線(xiàn)上。

解題過(guò)程：

1、當∠BAO=45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標

根據正方形的性質(zhì)和題目中的條件：四邊形ABCD為正方形，則AC平分∠BAD，∠BAD=90°，AC⊥BD，AP=BP；

根據結論：AC平分∠BAD，∠BAD=90°，則∠BAC=∠BAD/2=45°；

根據題目中的條件和結論：∠BAO=45°，∠BAC=45°，則∠OAP=∠BAC ∠BAO=90°，即AC⊥x軸；

根據平行線(xiàn)的判定和結論：AC⊥BD，AC⊥x軸，則BD∥x軸；

根據平行線(xiàn)的性質(zhì)和結論：BD∥x軸，∠AOB=90°，則∠DBO ∠AOB=180°，即∠DBO=90°，BP⊥y軸；

根據勾股定理和結論：AB=a，BP=AP，AB^2=AP^2 BP^2，則AP=BP=√2/2a；

根據結論：AP=BP=√2/2a，BP⊥y軸，AC⊥x軸，則點(diǎn)P的坐標為(√2/2a,√2/2a)；

2、證明：點(diǎn)P都在∠AOB的平分線(xiàn)上

過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，PF⊥y軸

根據題目中的條件：PE⊥x軸，PF⊥y軸，AC⊥BD，則∠PEA=∠PFB=∠PEO=∠APB=90°；

根據結論：∠PFB=∠PEO=90°，∠AOB=90°，則∠FPE=90°；

根據結論：∠FPE=∠APB=90°，∠FPE=∠BPE ∠BPF，∠APB=∠BPE ∠APE，則∠BPF=∠APE；

根據全等三角形的判定和結論：∠BPF=∠APE，∠PFB=∠PEA，BP=AP，則△BFP≌△AEP；

根據全等三角形的性質(zhì)和結論：△BFP≌△AEP，則PE=PF；

根據角平分線(xiàn)的判定和結論：PE⊥x軸，PF⊥y軸，PE=PF，則點(diǎn)P在∠AOB的平分線(xiàn)上。

結語(yǔ)

解決本題的關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)得到線(xiàn)段、角度間的數量關(guān)系，通過(guò)構造全等三角形得到線(xiàn)段間的等量關(guān)系，進(jìn)而證明到題目需要的結論。